Die Bodentemperatur

Die oberen Bodenschichten werden im Sommer erwärmt, während die tieferen Schichten noch kalt sind. Während die Wärme sich im Boden nach unten ausbreitet, wird es außen schon wieder kälter. Die oberen Bodenzonen werden im Winter abgekühlt, wenn die Sommerwärme gerade die ausgekühlten Schichten des letzten Winters erreicht hat. Somit überholt der Jahresgang der Außentemperatur laufend den Jahresgang der Bodentemperatur.

Geothermik

Ein Temperaturmodell für den Boden

1 Grundvorstellungen und Randbedingungen

Die Grund-Idee zum Modell und zum Lösungsweg wurde entnommen aus Kluge, G. & Neugebauer, G.: Grundlagen der Thermodynamik. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 1994. Ausführung, mathematische Erläuterungen, Verbesserungen und Graphiken stammen vom Verfasser.

T´ = T´(z,t) = T(z,t) - T₀ [1]

1. Randbedingung: Die Tiefe z kann maximal die Größe des örtlichen Erdradius R erreichen:

z_max = R [2]

2. Randbedingung: In der Tiefe z = R ist keine Temperaturschwankung mehr vorhanden:

T´(R,t) = 0 [3]

3. Randbedingung: Angenähert an wirkliche Verhältnisse, wird ein streng periodischer Gang für die Oberflächentemperatur T´(0,t) vorgegeben, wobei die Periode τ z.B. ein Jahr oder ein Tag sein kann. Damit ist die Vorstellung eines Kreislaufs verbunden, in dem eine gegebene Höchsttemperatur T´_max immer wieder erreicht wird. Die Winkelgeschwindigkeit ω, mit der die Strecke 2π, also dieser Tages- oder Jahreskreis, durchlaufen wird, ist dann:

ω = 2π / τ [4]

Die Randbedingung für die Temperatur der Oberfläche ist nun die periodische Temperatur:

T´(0,t) = T´_max cos (ω t) [5]

So angesetzt, schwankt die Temperatur der Oberfläche sinusförmig um den Nullpunkt des Temperatur-Maßsystems, der der mittleren Temperatur T₀ im Kreislauf entspricht und jeweils bei t = τ/4 und t = 3 τ/4 erreicht wird (Cosinus-Funktion!).
Die Gültigkeit des Modells hängt also davon ab, dass sich die Temperatur an der Erdoberfläche periodisch verhält, somit keine anderen periodischen Einflüsse den Temperaturgang beschleunigen oder verzögern. Wenn beispielsweise eine starke Abkühlung der Luft aufgrund von jährlich an einem Ort um dieselbe Zeit auftretenden Einbrüchen von polaren Luftmassen stattfindet, dann hängt die Durchschnittstemperatur nicht mehr streng von der zugeführten Sonnenstrahlung ab und verhält sich nicht mehr wie die Cosinus-Funktion. Um in diesem Fall zur Gültigkeit zurückzukehren, muss der Durchschnitt nicht nur über die Zeit, sondern auch über alle Orte auf demselben Breitengrad ausgedehnt werden.
Zweitens werden auch Veränderungen im Untergrund ausgeklammert. Das Modell beschreibt nicht die thermische Entwicklung des Bodens, wenn ursprünglich ein anderes Temperaturfeld vorlag.

2 Wärmeleitung im Boden

Die Modellsituation kann als eindimensionales, zeitlich veränderliches Temperaturfeld beschrieben werden. Die Wärmeleitungsgleichung lautet dann:

(Fouriersche Wärmeleitungsgleichung) [6]

Hierin ist a die Temperaturleitfähigkeit. Der Separationsansatz T´(z,t) = f1(t) ° f2(z), angewandt auf obige Gleichung, liefert:

T´(z,t) = C exp (a K² t + K z) [7]

In obiger Gleichung ist ...
... C eine Konstante,
... K die komplexe Separationskonstante nach dem Muster K = a + i b.

C und K sind zunächst beliebig. Der Teil des Exponenten, der K² enthält, ist wegen i² = -1 und für a = 0 real, wogegen der Teil mit K in der 1. Potenz imaginär bleibt (er enthält i = √-1). Sowohl der Realteil, wie auch der Imaginärteil der Gleichung sind für sich Lösungen der Wärmeleitungsgleichung. Sie müssen auch für die Temperatur an der Stelle z = 0 gelten, für die außerdem Gl. 5 gilt. Ein Versuch mit dem Realteil (Imaginärteil = 0) ergibt:

T´(0,t) = C exp (a K² t) [8]

3 Ausflug in die komplexen Zahlen

In der komplexen Zahlenebene bilden die reelle und die imaginäre Achse ein rechtwinkliges Koordinatensystem; daher gilt für eine beliebige komplexe Größe K (Vektor in der komplexen Zahlenebene):

K = a + i b

Die Größen a und b sind ebenfalls Vektoren mit den Beträgen a und b, wobei:

b / a = tan α

α ist der Winkel in der komplexen Zahlenebene. K kann also in einen reellen Cosinus-Anteil und einen imaginären Sinus-Anteil zerlegt werden. In der Eulerschen Relation wird K durch eine Exponentialfunktion ausgedrückt:

K = |K| (cos α + i sin α) = |K| exp (i α) [9]

4 Lösung der Wärmeleitungsgleichung

Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für T´(0,t) erhält man:

T´(0,t) = T´_max cos (ω t) = C exp (a K² t)

Die Winkelgeschwindigkeit ω ist der Winkel, geteilt durch die Zeit t, so dass ω t einfach den Winkel bedeutet. Obige Gleichung wird nun in die Form des Realteils von Gl. 9 gegossen: Mit α = ω t liefert der Vergleich:

|K| (cos ω t) = |K| exp (i ω t)

Somit ist C = T´_max und a K² = i ω. Damit kann die 3. Randbedingung erfüllt werden:

T´(0,t) = T´_max cos (ω t) = T´_max exp (i ω t) [10]

Durch Einsetzen der identifizierten Konstanten in Gl. 7 erhält man die Lösungen der Randwertaufgabe für T´(z,t):

T´(z,t) = T´_max exp (i ω t ± z √(i ω / a) = T´_max exp (± z √(ω / 2a)) cos (ω t ± z √(ω / 2a)) [11]

Nach den Voraussetzungen des Modells kann die Temperaturschwankung mit zunehmender Tiefe z nicht zunehmen, sondern muss sich auf den in der 2. Randbedingung definierten Wert Null einschwingen. Daher ist die Temperaturverteilung im Boden nach dem Modell:

T´(z,t) = T´_max exp (- z √(ω / 2a)) cos (ω t - z √(ω / 2a)) [12]

5 Verbesserungen

Um anstelle von T´, der Abweichung von T₀, die jeweilige Bodentemperatur T darzustellen, addiert man wieder T₀:

T(z,t) = T´_max exp (- z √(ω / 2a)) cos (ω t - z √(ω / 2a)) + T₀ [13]

Die aus dem endogenen Wärmefluss resultierenden Bodentemperaturen können nicht gleichzeitig mit den exogenen Temperaturen aus einer einzigen Wärmeleitungsgleichung abgeleitet werden (unterschiedliche Richtung des Wärmeflusses). Jedoch kann eine bereits bekannte, sozusagen fertige Funktion der Bodentemperatur ohne weiteres der Modellgleichung überlagert werden. Hier kommt der geothermische Gradient in Betracht, der abschnittsweise als linear angesehen wird und als Temperaturerhöhung zur Modelltemperatur addiert werden kann. Bezogen auf eine Tiefe z₀, in der der addierte Betrag Null sein soll, hat diese einfache Funktion folgende Form:

δT = (z - z₀) grad T

T(z,t) = T´_max exp (- z √(ω / 2a)) cos (ω t - z √(ω / 2a)) + T₀ + (z - z₀) grad T [14]

Der vom Modell beschriebene Kreislauf wird von der Cosinus-Funktion gesteuert, so dass die höchsten Oberflächentemperaturen bei den Winkeln 0 und 2π erreicht werden, die tiefste bei π. Will man die Temperaturperiode z.B. mit dem Jahreslauf abgleichen, dann muss man den Jahreskreislauf so verschieben, dass er im Hochsommer beginnt, nicht am 1. Januar! Wenn also der Winkel ω t aus dem Datum bestimmt wird, dann muss entweder von t der Zeitunterschied t₀ zum Tag des Temperaturmaximums oder vom Produkt ω t der entsprechende Winkelunterschied abgezogen werden:

ω t --> ω (t - t₀)
ω t --> ω t - (2π t₀ / τ)

6 Werte für das Temperaturmodell

Um für kalt-gemäßigte Breiten realistisch anzusetzen, wählt man das Maßsystem so, dass dessen Nullpunkt z.B. bei +9 °C liegt (Temperatur vieler Quellen und Höhlen). Wird T_max mit 23 °C angesetzt, dann bewegt sich die Modelltemperatur für die Oberfläche also zwischen +23 °C und -5 °C. Es wird:

T₀ = 9 °C
T´_max = 14 °C
T´_min = -14 °C

Für den geothermischen Gradienten wird eingesetzt:

grad T = 0,03 K / m

Sinnvoller Weise wird z₀ in eine Tiefe verlegt, in der der Einfluss des Klimas ausklingt, T´ also bereits kleiner ist als der aus dem Gradienten stammende Betrag. Wenn der Cosinus-Anteil der Gleichung für T´ gleich 1 ist (maximale Schwankung), hat T´ den Wert T´_max exp (- z √(ω / 2a)). Für z wird z₀ eingesetzt und der Ausdruck nach z aufgelöst für ein T´ von 0,01 K.
Es ergibt sich ein Wert von 14,8 m. Hier wird 15 m gewählt, so dass das Modell auch bei gut temperaturleitfähigen Böden eingesetzt werden kann. Wie die Graphen der Funktion zeigen (folgendes Bild), ist die Temperatur tatsächlich schon ab 8 m - 10 m nahezu konstant. Zweitens kann man sich entscheiden, ob die Addition des Ausdrucks < (z - z₀) grad T > auch für den oberen Teil des Bodenprofils gelten soll oder nicht. Hier wird das ganze Profil gleich behandelt.

z₀ = 15 m

Für die Temperaturleitfähigkeit des Untergrunds kann modellhaft ein durchschnittlicher, bis z₀ geltender Wert angegeben werden (Ein-Schicht-Modell). Dadurch wird die grundsätzliche Form der Temperaturwelle besser sichtbar, als bei mehreren Schichten:

0 m - 15 m: a = 4,17 · 10^-7 m²/s

Um eine weitere Annäherung an wirkliche Verhältnisse zu erzielen, könnte es sinnvoll sein, die fast immer vorhandene Verwitterungsschicht aus Oberboden, Lehmen usw. von den darunter liegenden und besser leitenden Festgesteinen zu trennen (Zwei-Schichten-Modell). Z.B. könnte die Verwitterungsschicht von einem liegenden Kalkstein abgetrennt werden:

0 m - 5 m (Verwitterungsschicht): a = 4,17 · 10^-7 m²/s
5 m - 15 m (Kalkstein): a = 1,28 · 10^-6 m²/s

Als Periode τ soll hier ein mittleres gregorianisches Jahr eingesetzt werden, da der Jahresgang der Temperatur interessanter ist als der Tagesgang:

τ = 365,2425 d

Das durchschnittliche Temperaturmaximum wird am 17. Juli angenommen. Im Gemeinjahr ist der 17.7. der 198. Tag, d.h. zu Mittag des 17.7. ist die Zeit t im Kreislauf gleich 197,5 Tage. In einem 366-Tage-Jahr entspricht t 198,5 Tagen. Die durchschnittliche Länge des gregorianischen Jahrs von 365,2425 Tagen unterscheidet sich von der des Gemeinjahrs um 0,2425 Tage, von der des Schaltjahrs um 0,7575 Tage. Um die Position des 17.7. im gregorianischen Jahr zu bestimmen, gewichtet man die beiden Werte für t entsprechend dem umgekehrten Verhältnis der Unterschiede:

0,7575 / 0,2425 = 3,123711340206186 / 1
t₀ = (3,123711340206186 * 197,5 + 1 * 198,5) / 4,123711340206186 = 197,7425

Damit der 17.7. der Start des Kreislaufs wird (ωt = 0), wird t₀ von t abgezogen:

ω t --> ω (t - 197,7425)

Um eine Temperaturkurve für ein bestimmtes Datum zu berechnen, behandelt man den entsprechenden Kalendertag wie oben, d.h. man ermittelt seine Position t im Jahreskreislauf. Als Daten wurden die Anfangstage jedes 2. Monats genommen:

Anmerkung: Wenn hier das tropische Jahr (τ = 365,2422 d) verwendet wird, kann wohl der Temperaturgang im Kreislauf der Jahre modelliert werden, aber kein allgemeiner Zusammenhang mit dem Tagesdatum hergestellt werden (nur mit Hilfe eines Null-Datums und von Jahresangaben). Die Genauigkeit, die die Verwendung des tropischen Jahrs scheinbar bietet - der Unterschied beträgt etwa eine halbe Minute - lohnt sich nicht, da die Temperaturwelle in dieser kurzen Zeit keine sichtbaren Veränderungen erfährt.

7 Ergebnisse Physikalische Ergebnisse 1. Die jeweils größte Amplitude der Temperaturwelle (Cosinus-Glied der Gleichung gleich 1) für eine bestimmte Tiefe ist < T´max exp (- z √(ω / 2a)) >. Für z = 0 stimmt sie mit T´max überein, mit zunehmender Tiefe z wird sie kleiner (gedämpft) und für die Tiefe der 1. Randbedingung hätte sie noch einen winzigen, von Null abweichenden Wert. Das heißt, die 2. Randbedingung ist eigentlich nicht erfüllt. Dies ist aber sowohl rechnerisch als auch für die Ergebnisse uninteressant - der Sinn der Bedingung war nur, die Zweideutigkeit der gelösten Wärmeleitungsgleichung (Gl. 11) zu beseitigen. 2. Die Dämpfung der Temperaturwelle ist um so stärker, je größer ω ist. Daher dringen tagesperiodische Temperaturschwankungen nicht so tief ein, wie jahresperiodische. 3. Vergleicht man die Phasen der Temperaturwelle (jeweils das Argument des Cosinus) in Gl. 5 und 12, dann erkennt man eine Phasenverschiebung der Temperatur im Boden gegen die der Oberfläche um < z √(ω / 2a) > (Ergebnis in Radiant).

Bodenklimatische Ergebnisse 1. Die Temperaturkurven im nebenstehenden Bild zeigen die jahreszeitlichen Schwankungen an der Oberfläche und ihr Einschwingen auf eine mit < z grad T > ansteigende, gerade Mittellinie im Untergrund. Im Hochsommer (rote Kurve) fallen die Bodentemperaturen sehr schnell, so dass z.B. am 1. Juli die durchschnittliche Temperatur von 22 Grad an der Oberfläche in nur 1,5 m Tiefe schon auf 12 Grad zurückgeht. In 4 m Tiefe sind nur 7,5 Grad übrig - weniger als die Mitteltemperatur. Die Kurve für den Spätsommer (orange) zeigt, wie die sommerliche Wärme in den Boden einwandert, während es an der Erdoberfläche schon etwas kühler wird. Das Integral über die Temperatur (Diagrammfläche links der Kurve) ist weit größer als im Hochsommer. Im Herbst (violette Kurve) zeigt sich ein ausgeprägter "Wärmebauch" im Boden: Am Kontakt zur Luft hat man nun den kältesten Punkt der ganzen Kurve, aber in 2,5 m Tiefe ist es so warm wie im Mai an der Oberfläche (gelbe Kurve). Im Hochwinter (hellblaue Kurve) ist es oben sehr kalt und auch tiefer im Boden ist von der Sommerwärme fast nichts mehr übrig. Im Vorfrühling (dunkelblau) ist der Boden am kühlsten bis sich der Oberboden im Frühling (gelbe Kurve) wieder stark erwärmt: Eine neue Temperaturwelle dringt in den Boden ein. 2. Die Verschiebung der Jahreszeiten des Bodens verhält sich nicht gemäß der häufig zitierten Aussage "Wenn es draußen Winter ist, ist es im Boden Sommer". Nach "Physikalische Ergebnisse, 3" hängt die Verschiebung von der Tiefe ab. Demnach erhält man eine halbjährliche Verschiebung erst für 6,4 m Tiefe, wo aufgrund der geringen Temperaturschwankungen kaum noch von "Jahreszeiten" gesprochen werden kann. Die deutlichsten Schwankungen liegen etwa in 2 m Tiefe vor, dort werden die Jahreszeiten um rund 2 Monate nachgeschleppt: Am kältesten ist es im Vorfrühling - draußen im Hochwinter, am wärmsten im Spätsommer - draußen im Hochsommer. 3. Die Frostgrenze erreicht mit der Kurve für den 1. März knapp 1 m Tiefe, so wie es auch in Wirklichkeit der Fall ist. Zwischen 1. März und 1. Mai steigt die Temperatur im Oberboden schnell an. Heiztechnische Ergebnisse 1. Bei Einsatz von Flachkollektoren zur Versorgung des Heizsystems zeigt die Graphik, dass die Kollektoren während der Haupt-Heizperiode optimal in 3,5 m - 5 m Tiefe verlegt sein müssten. Das erklärt die geringe Effektivität dieser Anlagen bei der üblichen Verlegetiefe von 1 m - 2 m.